Како се решавају логаритамске једначине

Садржај

• фазе
• Прелиминарно: знати како трансформирати логаритамску једнаџбу у једначину са силама
• Метод 1 Пронађи х
• Метод 2 Пронађи х користећи правило производа логаритма
• Метод 3 Пронађи х користећи правило логаритам квоцијента

Логаритамске једнаџбе на први поглед нису најлакше решити у математици, али се могу трансформисати у једначине са експонентима (експоненцијална нотација). Према томе, ако успете да извршите ову трансформацију и ако савладате израчунавање снагама, лако бисте решили ову једначину. Напомена: термин „записник“ ће се повремено користити уместо „логаритам“, они су заменљиви.

фазе

Прелиминарно: знати како трансформирати логаритамску једнаџбу у једначину са силама

1. 
   

   
   Кренимо од дефиниције логаритма. Ако желите да израчунате логаритме, знајте да они нису ништа друго него посебан начин изражавања моћи. Кренимо од једног од класичних услова логаритма:
   • и = записник_b (Кс)
     • ако и само ако: б = к
   • b је основа логаритма. Два услова морају бити испуњена:
     • б> 0 (б мора бити строго позитивно)
     • b не смеју бити једнаки 1
   • У експоненцијалној нотацији (друга једначина изнад), тамо је моћ и х је такозвани експоненцијални израз, у ствари чија се вредност тражи у записнику.

2. 
   

   
   
   
   Помно посматрајте једнаџбу. Пред логаритамском једначином морамо идентификовати базу (б), снагу (и) и експоненцијални израз (к).
   • пример : 5 = записник₄(1024)
     • б = 4
     • и = 5
     • к = 1024

3. 
   

   
   Поставите експоненцијални израз на једну страну једначине. На пример, унесите вредност х лево од знака "=".
   • пример : 1024 = ?

4. 
   

   
   Подигните базу на наведену снагу. Вриједност додијељена бази података (b) мора се множити сам по себи онолико пута колико снага показује (тамо).
   • пример : 4 к 4 к 4 к 4 к 4 =?
     • Укратко, ово даје: 4

5. 
   

   
   
   
   Напишите свој одговор. Сада сте у стању да напишете логаритам у експоненцијалној нотацији. Проверите да ли је ваша једнакост исправна.
   • пример : 4 = 1024

Метод 1 Пронађи х

1. 
   

   
   Изолите логаритам. Циљ је заиста да се први пут уништи трупац. За то преносимо све не-логаритамске чланове са друге стране једначине. Не заборавите да преокренете оперативне знакове!
   • пример : лог₃(х + 5) + 6 = 10
     • dnevnik₃(х + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • dnevnik₃(х + 5) = 4

2. 
   

   
   Напишите једначину у експоненцијалном облику. Да бисте могли да пронађете „к“, мораћете да пређете из логаритамске нотације у експоненцијалну нотацију, а последње је лакше решити.
   • пример : лог₃(х + 5) = 4
     • Полазећи од теоријске једначине и = записник_b (Кс)], примените га на наш пример: и = 4; б = 3; к = к + 5
     • Напишите једначину као: б = к
     • Овде добијамо: 3 = к + 5

3. 
   

   
   пронаћи х. Сада сте суочени са једначином првог степена, коју је лако решити. То би могао бити други или трећи степен.
   • пример : 3 = к + 5
     • (3) (3) (3) (3) = к + 5
     • 81 = к + 5
     • 81 - 5 = к + 5 - 5
     • 76 = к

4. 
   

   
   Унесите свој коначни одговор. Вредност коју сте пронашли за "к" одговор је на вашу логаритамску једначину: лог₃(х + 5) = 4.
   • пример : к = 76

Метод 2 Пронађи х користећи правило производа логаритма

1. 
   

   
   Морате знати правило које се односи на производ (умножавање) трупаца. Према првом својству трупаца, које се односи на производ трупаца (исте базе сензора!), Дневник производа једнак је збиру дневника елемената производа. Илустрација:
   • dnevnik_b(м к н) = записник_b(м) + дневник_b(Н)
   • Два услова морају бити испуњена:
     • м> 0
     • н> 0

2. 
   

   
   Изолите записе на једној страни једначине. Циљ је заиста испразнити трупце у почетку. За то преносимо све не-логаритамске чланове са друге стране једначине. Не заборавите да преокренете оперативне знакове!
   • пример : лог₄(к + 6) = 2 - записник₄(Кс)
     • dnevnik₄(к + 6) + дневник₄(к) = 2 - записник₄(к) + дневник₄(Кс)
     • dnevnik₄(к + 6) + дневник₄(к) = 2

3. 
   

   
   Примените правило које се односи на производ трупаца. Овде ћемо је применити у супротном смеру, наиме да је збир трупаца једнак дневнику производа. Шта нам даје:
   • пример : лог₄(к + 6) + дневник₄(к) = 2
     • dnevnik₄ = 2
     • dnevnik₄(к + 6к) = 2

4. 
   

   
   Препишите једначину са снагама. Подсетимо се да се логаритамска једначина може трансформисати у једначину са експонентима. Као и до сада, прећи ћемо на експоненцијалну нотацију како бисмо помогли у решавању проблема.
   • пример : лог₄(к + 6к) = 2
     • Полазећи од теоријске једначине, применимо је на нашем примеру: и = 2; б = 4; к = к + 6к
     • Напишите једначину као: б = к
     • 4 = к + 6к

5. 
   

   
   пронаћи х. Сада сте суочени са једначином другог степена, коју је лако решити.
   • пример : 4 = к + 6к
     • (4) (4) = к + 6к
     • 16 = к + 6к
     • 16 - 16 = к + 6к - 16
     • 0 = к + 6к - 16
     • 0 = (к - 2) (к + 8)
     • к = 2; к = -8

6. 
   

   
   Напишите свој одговор. Често имамо два одговора (коријен). У почетној једнаџби треба проверити да ли су ове две вредности погодне. Заиста, не можемо израчунати дневник негативног броја! Унесите једини валидан одговор.
   • пример : к = 2
   • Никада га се нећемо довољно сетити: дневник негативног броја не постоји, па га овде можете одбацити - 8 као решење. Да смо као одговор узели -8, у основној једначини имали бисмо: лог₄(-8 + 6) = 2 - записник₄(-8), тј₄(-2) = 2 - записник₄(-8). Не може се израчунати дневник негативне вредности!

Метод 3 Пронађи х користећи правило логаритам квоцијента

1. 
   

   
   Морате знати правило које се тиче поделе трупаца. Према другом својству записника, које се односи на подјелу трупаца (исте базе сензора!), Дневник квоцијента једнак је разлици дневника бројача и дневника називника. Илустрација:
   • dnevnik_b(м / н) = записник_b(м) - записник_b(Н)
   • Два услова морају бити испуњена:
     • м> 0
     • н> 0

2. 
   

   
   Изолите записе на једној страни једначине. Циљ је заиста испразнити трупце у почетку. За то преносимо све не-логаритамске чланове са друге стране једначине. Не заборавите да преокренете оперативне знакове!
   • пример : лог₃(к + 6) = 2 + записник₃(к - 2)
     • dnevnik₃(к + 6) - записник₃(к - 2) = 2 + записник₃(к - 2) - записник₃(к - 2)
     • dnevnik₃(к + 6) - записник₃(к - 2) = 2

3. 
   

   
   Примените правило квоцијента дневника. Овде ћемо је применити у супротном смеру, наиме да је разлика трупаца једнака дневнику квоцијента. Шта нам даје:
   • пример : лог₃(к + 6) - записник₃(к - 2) = 2
     • dnevnik₃ = 2

4. 
   

   
   Препишите једначину са снагама. Подсетимо се да се логаритамска једначина може трансформисати у једначину са експонентима. Као и до сада, прећи ћемо на експоненцијалну нотацију како бисмо помогли у решавању проблема.
   • пример : лог₃ = 2
     • Полазећи од теоријске једначине, применимо је на нашем примеру: и = 2; б = 3; к = (к + 6) / (к - 2)
     • Напишите једначину као: б = к
     • 3 = (к + 6) / (к - 2)

5. 
   

   
   пронаћи х. Сад кад нема више дневника, већ овласти, требали бисте лако пронаћи х.
   • пример : 3 = (к + 6) / (к - 2)
     • (3) (3) = (к + 6) / (к - 2)
     • 9 = (к + 6) / (к - 2)
     • 9 (к - 2) = (к - 2) & мдасх; множимо обе стране са (к - 2)
     • 9к - 18 = к + 6
     • 9к - к - 18 + 18 = к - к + 6 + 18
     • 8к = 24
     • 8к / 8 = 24/8
     • к = 3

6. 
   

   
   Унесите свој коначни одговор. Вратите рачуне и извршите проверу. Кад сте сигурни у свој одговор, запишите га дефинитивно.
   • пример : к = 3